Конические поверхности

Пусть: - Кривая $\gamma$ - **направляющая** - Точка $O$ - **вершина** Тогда поверхность, образованная всевозможными прямыми $OM$, где $M \in \gamma$, называется **конической**

Пусть направляющая задана системой: $$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$$ Ясно, что $M(x, y, z)$ лежит на поверхности $\iff$ $OM$ пересекается с направляющей. Пусть $O(x_{0}, y_{0}, z_{0})$, $M' = \gamma \cap OM$ и $M'(x', y', z')$, тогда: $$\underbrace{ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} }_{ M' }= \underbrace{ \begin{pmatrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{pmatrix} }_{ O } + \underbrace{ \alpha \begin{pmatrix} x - x_{0} \\ y - y_{0} \\ z - z_{0} \end{pmatrix} }_{ \alpha \overrightarrow{OM} }$$ Получаем уравнение конической поверхности: $$\begin{cases} F(x_{0} + \alpha(x - x_{0}), y_{0} + \alpha(y - y_{0}), z_{0} + \alpha(z - z_{0})) = 0 \\ G(x_{0} + \alpha(x - x_{0}), y_{0} + \alpha(y - y_{0}), z_{0} + \alpha(z - z_{0})) = 0 \end{cases}$$

Ортогональными преобразованиями приведём коническую поверхность к виду: - $O(0, 0, 0)$ - вершина лежит в начале координат - Направляющая лежит в плоскости $z = 1$ Тогда, если $F(x, y, z)$ - уравнение конической поверхности, то уравнение направляющей имеет вид: $$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ z = 1 \end{cases}$$ Пусть $H(x, y) = F(x, y, 1)$, $M(x, y, z)$ лежит на поверхности, $M'(x', y', z') = OM \cap \gamma$. Составим уравнение прямой $OM$. Тогда: $$M' \in (OM) \iff \dfrac{x' - 0}{x} = \dfrac{y' - 0}{y} = \dfrac{z' - 0}{z}$$ Тогда: $$x' = z' \dfrac{x}{z}, \qquad y' = z' \dfrac{y}{z}$$ Подставляя полученное и $z' = 1$ в $H(x, y)$, получаем: $$H\left( \dfrac{x}{z}, \dfrac{y}{z} \right) = 0$$ Поэтому любая коническая поверхность в подходящей системе координат задаётся данным уравнением.

**Эллиптический конус:** $$\dfrac{\left( \dfrac{x}{z} \right)^{2}}{a^{2}} + \dfrac{\left( \dfrac{y}{z} \right)^{2}}{b^{2}} = 1$$ [Эллиптический в Desmos](https://www.desmos.com/3d/elkfhrq18r) (немного другой вид, чтобы рендерилось нормально) **Гиперболический конус** $$\dfrac{\left( \dfrac{x}{z} \right)^{2}}{a^{2}} - \dfrac{\left( \dfrac{y}{z} \right)^{2}}{b^{2}} = 1$$ [Гиперболический в Desmos](https://www.desmos.com/3d/lx80hdemql)